Bài 2 trang 141 (Ôn tập chương IV - Giới hạn) SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Cho hai dãy số \((u_n)\) và \((v_n)\). Biết \(|u_n– 2| ≤ v_n\) với mọi \(n\) và \(\lim v_n=0\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số \((u_n)\)?

Lời giải chi tiết

Vì \(\lim v_n=0\) nên với số dương ε bé tùy ý bất kì:

⇒ có một số \(n_0\) thỏa mãn: \(|{v_n}| < \varepsilon \) với mọi \(n\ge n_0\).

⇒ \(|{u_n}-2| \le {v_n} \le |{v_n}| < \varepsilon \) với mọi \(n\ge n_0\).

⇒ \(\lim ({u_n}-2) = 0\)

⇒ \(\lim {u_n} = 2\).

Cách khác:

Có thể sử dụng định lý giới hạn kẹp như sau:

Với mọi \(n ∈ \mathbb N^*\) , ta có: \(|u_n– 2| ≤ v_n⇔ -v_n ≤ u_n– 2 ≤ v_n\)

Mà \(\lim (-v_n) = \lim (v_n) = 0\) nên \(\lim (u_n– 2) = 0 \) \(⇔ \lim u_n – \lim 2 = 0\) \( ⇔ \lim u_n= 2\).