Bài 1.18 trang 13 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Giải bài 1.18 trang 13 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Tìm cực trị của các hàm số sau:...


Tìm cực trị của các hàm số sau:

LG a

\(y = \sin^2 {x} - \sqrt 3 {\rm{cos}}x;x \in \left[ {0;\pi } \right]\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = 2\sin x\cos x + \sqrt 3 \sin x\)           

\( = \sin x(2\cos x + \sqrt 3 )\)

Với \(0 < x < \pi \)  ta có \(\sin x > 0\). Do đó

\(y' = 0 \) \(\Leftrightarrow \cos x =  - {{\sqrt 3 } \over 2} \Leftrightarrow x = {{5\pi } \over 6}\)

Bảng biến thiên

          

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {{5\pi } \over 6};y = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = 1{3 \over 4}\)

Có thể áp dụng quy tắc 2

\(y' = \sin 2x + \sqrt 3 \sin x\)

\(y'' = 2\cos x + \sqrt 3 \cos x\)

\(y'' = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = 2\cos {{5\pi } \over 6} + \sqrt 3 \cos {{5\pi } \over 6} \)

\(= 2.{1 \over 2} + \sqrt 3 \left( { - {{\sqrt 3 } \over 2}} \right) =  - {1 \over 2} < 0\)

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {{5\pi } \over 6};y = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = 1{3 \over 4}\)


LG b

\(y = 2\sin x + {\rm{cos2}}x;x \in \left[ {0;\pi } \right]\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = 2\cos x - 2\sin 2x\) \(= 2\cos x(1 - 2\sin x)\)

Với \(0 < x < \pi \) , ta có

\(y' = 0 \)\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos x = 0 \hfill \cr  \sin x = {1 \over 2} \hfill \cr}  \right.\)\(\Leftrightarrow x = {\pi  \over 2},x = {\pi  \over 6},x = {{5\pi } \over 6}\)

Ta áp dụng quy tắc 2

\(y'' =  - 2\sin x - 4\cos 2x\)

\(y'' = \left( {{\pi  \over 2}} \right) =  - 2\sin {\pi  \over 2} - 4\cos x = 2 > 0\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = {\pi  \over 2};y\left( {{\pi  \over 2}} \right) = 1\)

\(y''\left( {{\pi  \over 6}} \right) =  - 2\sin {\pi  \over 6} - 4\cos {\pi  \over 3} =  - 3 < 0\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {\pi  \over 6};y\left( {{\pi  \over 6}} \right) = {3 \over 2}\)

\(y'' = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) =  - 2\sin {{5\pi } \over 6} - 4\cos x{{5\pi } \over 3} =  - 3 < 0\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {{5\pi } \over 6};\)\(y = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = {3 \over 2}\)



Bài học liên quan

Từ khóa phổ biến