Bài 1.16 trang 13 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Tìm cực trị các hàm số sau:

LG a

\(f(x) = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 3\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 6{x^2} - 18x + 12\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 18x + 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1; f(1) = 8 và đạt cực tiểu tại điểm x = 2; f(2) = 7

LG b

\(f(x) =  - 5{x^3} + 3{x^2} - 4x + 5\)

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) =  - 15{x^2} + 6x - 4\)

Có \(\Delta ' = 9 - \left( { - 15} \right).\left( { - 4} \right) =  - 51 < 0\) và \(a =  - 15 < 0\) nên \(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Do đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên không có cực trị.

LG c

\(f(x) = 3{x^4} - 4{x^3} - 24{x^2} + 48x - 3\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 12{x^3} - 12{x^2} - 48x + 48\\f'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow 12{x^3} - 12{x^2} - 48x + 48 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  \pm 2\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = -2; f(-2) = -115 và x = 2; f(2) = 13.

Đạt cực đại tại điểm x = 1; f(1) = 20.

LG d

\(f(x) = x - 3 + {9 \over {x - 2}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 1 - \frac{9}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{9}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} - 9}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 3\\x - 2 =  - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1; f(-1) = -7, đạt cực tiểu tại điểm x = 5; f(5) = 5.