Bài 75 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Tìm các giá trị của a sao cho phương trình:

(a-1)x⁴ - ax² + a² – 1 = 0

có ba nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết

Đặt y = x², (\(y\ge 0\)) ta có phương trình:

(a – 1)y² – ay + a² – 1 = 0 (1)

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0.

Phương trình (1) có nghiệm y = 0 khi và chỉ khi:

\(\left( {a - 1} \right){.0^2} - a.0 + {a^2} - 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow {a^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 1\\
a = - 1
\end{array} \right.\)

+ Với a = 1, phương trình (1) trở thành –y = 0 hay y=0.

Do đó phương trình đã cho chỉ có nghiệm duy nhất x=0 (loại)

+ Với a = -1, phương trình (1) trở thành: -2y² + y = 0

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 0\\
y = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi a  = -1.