Bài 74 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm các giá trị của m sao cho phương trình:

x⁴ + (1 - 2m)x² + m² – 1 = 0

LG a

Vô nghiệm

Phương pháp giải:

Đặt y = x² ; y ≥ 0, chuyển điều kiện bài toán về điều kiện phương trình ẩn y. Cụ thể:

Phương trình đã cho vô nghiệm ⇔ pt mới vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm.

Lời giải chi tiết:

Đặt y = x² ; y ≥ 0, ta được phương trình:

y² + (1 – 2m)y + m² – 1 = 0   (1)

Phương trình đã cho vô nghiệm ⇔ (1) vô nghiệm hoặc (1) chỉ có nghiệm âm

Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& \Delta = {(1 - 2m)^2} - 4({m^2} - 1) = 5 - 4m < 0 \cr 
& \Rightarrow m > {5 \over 4} \cr} \)

Phương trình (1) chỉ có nghiệm âm khi và chỉ khi:

\(\left\{ \matrix{
\Delta \ge 0 \hfill \cr 
P > 0 \hfill \cr 
S < 0 \hfill \cr} \right.\)

Thay Δ = 5 – 4m, P = m²– 1 và S = 2m – 1, ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{
5 - 4m \ge 0 \hfill \cr 
{m^2} - 1 > 0 \hfill \cr 
2m - 1 < 0 \hfill \cr} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le \frac{5}{4}\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < - 1
\end{array} \right.\\
m < \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow m < - 1\) 

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi

\(\left[ \matrix{
m < - 1 \hfill \cr 
m > {5 \over 4} \hfill \cr} \right.\)

LG b

Có hai nghiệm phân biệt

Phương pháp giải:

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ẩn y có hai nghiệm trái dấu hoặc có một nghiệm kép dương.

Lời giải chi tiết:

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu hoặc có một nghiệm kép dương.

Ta xét hai trường hợp:

+ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

P = m²  - 1 < 0 hay -1 < m < 1.

+ Phương trình (1) có nghiệm kép \(\Delta  = 0 \Leftrightarrow 5 - 4m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}\)

Khi đó, với \(m = {5 \over 4}\) thì phương trình (1) là \({y^2} - \frac{3}{2}y + \frac{9}{{16}} = 0 \Leftrightarrow y = \frac{3}{4} > 0\) là nghiệm kép dương (thỏa mãn).

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\(m \in ( - 1,1) \cup {\rm{\{ }}{5 \over 4}{\rm{\} }}\)

LG c

Có bốn nghiệm phân biệt

Phương pháp giải:

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt, tức là:

\(\left\{ \matrix{
\Delta > 0 \hfill \cr 
P > 0 \hfill \cr 
S > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5 - 4m > 0 \hfill \cr 
{m^2} - 1 > 0 \hfill \cr 
2m - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{5}{4}\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < - 1
\end{array} \right.\\
m > \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < \frac{5}{4}\)