Bài 68 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

LG a

\(y = \sqrt {|{x^2} + 3x - 4| - x + 8} \)

Phương pháp giải:

Biến đổi tương đương

\(\left| f \right| \ge g \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f \ge g\\
f \le - g
\end{array} \right.\)

Cách khác: Phá dấu GTTĐ và giải các bpt thu được.

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& |{x^2} + 3x - 4| - x + 8 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow \,|{x^2} + 3x - 4|\,\, \ge x - 8 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} + 3x - 4 \ge x - 8 \hfill \cr
{x^2} + 3x - 4 \le 8 - x \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} + 2x + 4 \ge 0(1) \hfill \cr
{x^2} + 4x - 12 \le 0(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Xét (1) ta có:

\({x^2} + 2x + 4 \ge 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + 3 \ge 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 0\) (luôn đúng)

Nên tập nghiệm của (1) là R.

Xét (2) ta có:

\({x^2} + 4x - 12 \le 0 \Leftrightarrow - 6 \le x \le 2\) nên tập nghiệm của (2) là [-6;2].

Hợp hai tập nghiệm của (1) và (2) ta được S=R.

Vậy \(S =\mathbb R\).

Cách khác:

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

|x² + 3x - 4| - x + 8 ≥ 0 (*)

+ Nếu -4 < x < 1 thì x² + 3x – 4 < 0, khi đó (*) trở thành:

- ( x² + 3x – 4) – x + 8 ≥ 0

⇔ - x² – 4x + 12 ≥ 0

⇔ -6 ≤ x ≤ 2

Kết hợp điều kiện: - 4 < x < 1 ta được: - 4 < x < 1.

* Trường hợp 2. Nếu x ≤ 4 hoặc x ≥ 1 thì x² + 3x – 4 ≥ 0 .

Do đó, bất phương trình (*) trở thành:

x² + 3x – 4 – x + 8 ≥ 0

⇔ x² + 2x + 4 ( luôn đúng với mọi x vì x² + 2x + 4 = (x+1)² + 3 > 0 mọi x).

* Kết hợp cả hai trường hợp,vậy tập xác định của hàm số là D = R.

LG b

\(y = \sqrt {{{{x^2} + x + 1} \over {|2x - 1| - x - 2}}} \)

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: \({{{x^2} + x + 1} \over {|2x - 1| - x - 2}} \ge 0\)

Vì \({x^2} + x + 1 = {x^2} + 2.\frac{1}{2}.x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\) \( = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\forall x\) nên bất phương trình trên tương đương với bất phương trình \(|2x – 1| - x – 2 > 0\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow |2x - 1| > x + 2 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x - 1 > x + 2 \hfill \cr
2x - 1 < - x - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x > 3 \hfill \cr
x < - {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = ( - \infty , - {1 \over 3}) \cup (3, + \infty )\).

Cách khác:

LG c

\(y = \sqrt {{1 \over {{x^2} - 7x + 5}} - {1 \over {{x^2} + 2x + 5}}} \)

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& {1 \over {{x^2} - 7x + 5}} - {1 \over {{x^2} + 2x + 5}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{{x^2} + 2x + 5 - ({x^2} - 7x + 5)} \over {({x^2} - 7x + 5)({x^2} + 2x + 5)}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{9x} \over {({x^2} - 7x + 5)({x^2} + 2x + 5)}} \ge 0 \cr&\Leftrightarrow {x \over {{x^2} - 7x + 5}} \ge 0\cr &(do\,{x^2} + 2x + 5 =(x+1)^2+4> 0,\forall x) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
0 \le x < {{7 - \sqrt {29} } \over 2} \hfill \cr
x > {{7 + \sqrt {29} } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = {\rm{[}}0,\,{{7 - \sqrt {29} } \over 2}) \cup ({{7 + \sqrt {29} } \over 2}, + \infty )\)

LG d

\(\sqrt {\sqrt {{x^2} - 5x - 14} - x + 3}\)

Phương pháp giải:

Giải bpt

\(\sqrt f \ge g \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
g < 0\\
f \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
f \ge {g^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - 5x - 14} - x + 3 \ge 0 \cr&\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 5x - 14} \ge x - 3 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x - 3 < 0 \hfill \cr
{x^2} - 5x - 14 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x - 3 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} - 5x - 14 \ge {(x - 3)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x < 3\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
x \ge 7
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
{x^2} - 5x - 14 \ge {x^2} - 6x + 9
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
x \ge 23
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
x \ge 23
\end{array} \right.
\end{array}\)