Bài 66 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các phương trình sau:

LG a

\(\sqrt {2{x^2} + 4x - 1}  = x + 1\)

Phương pháp giải:

Biến đổi tương đương 

\(\sqrt f = g \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
f = {g^2}
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {2{x^2} + 4x - 1} = x + 1\cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 1 \ge 0\\
2{x^2} + 4x - 1 = {\left( {x + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
2{x^2} + 4x - 1 = {x^2} + 2x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
{x^2} + 2x - 2 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x = - 1 + \sqrt 3 \left( {TM} \right)\\
x = - 1 - \sqrt 3 \left( {loai} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = - 1 + \sqrt 3
\end{array}\)

Vậy \(S = {\rm{\{ }} - 1 + \sqrt 3 {\rm{\} }}\)

LG b

\(\sqrt {4{x^2} + 101x + 64}  = 2(x + 10)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {4{x^2} + 101x + 64} = 2(x + 10)\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x +10\ge 0 \hfill \cr 
4{x^2} + 101x + 64 = 4{(x + 10)^2} \hfill \cr} \right. \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 10\\
4{x^2} + 101x + 64 = 4{x^2} + 80x + 400
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 10\\
21x = 336
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 10\\
x = 16
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = 16
\end{array}\)

Vậy S = {16}

LG c

\(\sqrt {{x^2} + 2x}  =  - 2{x^2} - 4x + 3\)

Phương pháp giải:

Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0\) ,

ta được phương trình: y = -2y² + 3

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + 2x} = - 2{x^2} - 4x + 3\\
\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x} = - 2\left( {{x^2} + 2x} \right) + 3
\end{array}\)

Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0\) \( \Rightarrow {y^2} = {x^2} + 2x\), ta có phương trình:

\(\eqalign{
& y = - 2{y^2} + 3 \Leftrightarrow 2{y^2} + y - 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = 1\,\,(TM)\hfill \cr 
y = - {3 \over 2} \,\,(loai)\hfill \cr} \right. \cr} \)

Với \(y = 1 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 2x}  = 1 \) \(\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow x =  - 1 \pm \sqrt 2 \)

Vậy \(S = {\rm{\{ }} - 1 - \sqrt 2 , - 1 + \sqrt 2 {\rm{\} }}\)

LG d

\(\sqrt {(x + 1)(x + 2)}  = {x^2} + 3x - 4\)

Phương pháp giải:

Vì (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2 nên ta đặt \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)}  = y;\,\,y \ge 0\)   ,

ta được phương trình y = y² - 6   

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)}  = y;\,\,y \ge 0\) \(\Rightarrow {y^2} = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) \) \(= {x^2} + 3x + 2 \)

\(\Rightarrow {x^2} + 3x = {y^2} - 2\)

Ta có phương trình:

\(y = {y^2} - 2-4 \Leftrightarrow {y^2} - y - 6 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = 3(TM) \hfill \cr 
y = - 2 (loai)\hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{
& y = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 2} = 3\cr & \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 9\cr &\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 7 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow x = {{ - 3 \pm \sqrt {37} } \over 2} \cr} \)

Vậy: \(S = {\rm{\{ }}{{ - 3 - \sqrt {37} } \over 2};\,{{ - 3 + \sqrt {37} } \over 2}{\rm{\} }}\)