Bài 65 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

LG a

|x² – 5x + 4| = x² + 6x + 5

Phương pháp giải:

Sử dụng biến đổi tương đương 

\(\left| f \right| = g \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
f = g\\
f = - g
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

Hoặc phá dấu GTTĐ dựa vào điều kiện của f.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện:

x²+ 6x + 5 ≥ 0 

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le - 5 \hfill \cr 
x \ge - 1 \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& |{x^2} - 5x + 4| = {x^2} + 6x + 5 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} - 5x + 4 = {x^2} + 6x + 5 \hfill \cr 
{x^2} - 5x + 4 = - {x^2} - 6x - 5 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
- 11x = 1 \hfill \cr 
2{x^2} + x + 9 = 0(VN) \hfill \cr} \right.\cr & \Leftrightarrow x = - {1 \over {11}} \cr} \)

Ta thấy giá trị x vừa tìm được thỏa mãn điều kiện của đề bài.

Vậy \(S = {\rm{\{  - }}{1 \over {11}}{\rm{\} }}\)

Cách khác:

a) Ta có:

+) TH1: Nếu \({x^2} - 5x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 4\\x \le 1\end{array} \right.\) thì \(\left| {{x^2} - 5x + 4} \right| = {x^2} - 5x + 4\).

Khi đó pt tương đương:

x²-5x + 4=x² + 6x + 5

⇒11x=-1 ⇒x=-1/11 (thỏa mãn)

Trường hợp 1: nếu x∈(-∞;1]∪[4; + ∞) thì phương trình đã cho tương đương với phương trình:

+) TH2: Nếu \({x^2} - 5x + 4 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 4\) thì \(\left| {{x^2} - 5x + 4} \right| =  - {x^2} + 5x - 4\)

Khi đó phương trình đã cho tương đương

-x² + 5x-4=x² + 6x + 5

⇒2x² + x + 9=0 (vô nghiệm)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho T={-1/11}

LG b

|x – 1| = 2x – 1

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)

Ta có:

\(|x - 1| = 2x - 1\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x - 1 = 2x - 1 \hfill \cr 
x - 1 = 1 - 2x \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0\,\, (KTM)\hfill \cr 
x = {2 \over 3} \,\,(TM)\hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = {\rm{\{ }}{2 \over 3}{\rm{\} }}\).

Cách khác:

LG c

|-x² + x – 1| ≤ 2x + 5

Phương pháp giải:

Phá dấu GTTĐ và giải bpt.

Lời giải chi tiết:

Vì -x² + x – 1 < 0 với ∀x ∈ R (do a= -1 < 0 và \(\Delta  = 1 - 4 =  - 3 < 0\)) nên \(\left| { - {x^2} + x - 1} \right| = {x^2} - x + 1\).

Khi đó:

|-x² + x – 1| ≤ 2x + 5

⇔ x² – x + 1 ≤ 2x + 5

⇔ x² – 3x + 4 ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 4

Vậy S = [-1, 4]

LG d

|x² – x|  ≤ |x² – 1|

Phương pháp giải:

Bình phương hai vế \(\left| f \right| \le \left| g \right| \Leftrightarrow {f^2} \le {g^2} \) \(\Leftrightarrow \left( {f - g} \right)\left( {f + g} \right) \le 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

|x² – x|  ≤ |x² – 1| \( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - x} \right)^2} \le {\left( {{x^2} - 1} \right)^2}\)

⇔  (x² – x)² – (x² – 1)² ≤ 0

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + {x^2} - 1} \right) \le 0\)

⇔ (1 – x)(2x² – x – 1) ≤  0

\( \Leftrightarrow  - \left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) \le 0\)

⇔ (x – 1)²(2x + 1) ≥ 0

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
2x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - {1 \over 2}\)

Vậy \(S = {\rm{[}} - {1 \over 2}; + \infty )\)