Bài 64 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c.Ta lấy một điểm M trên cạnh BC. Quy M, ta kẻ các đường thẳng ME và MF thứ tự song song với các cạnh AC và AB (E ∈ AB, F ∈ AC). Hỏi phải lấy điểm M cách B bao nhiêu để tổng ME + MF = l(l là độ dài cho trước)? Biện luận theo l, a, b và c.

Lời giải chi tiết

Đặt x = MB (điều kiện: 0 < x < a)

Theo định lý Ta – lét, ta có:

\(\eqalign{
& {{ME} \over x} = {b \over a} \Rightarrow ME = {{bx} \over a} \cr 
& {{MF} \over c} = {{a - x} \over a} \Rightarrow MF = {{c(a - x)} \over a} \cr} \) 

Điều kiện \(ME + MF = l\) cho ta phương trình:

\(l = {{bx} \over a} + {{c(a - x)} \over a} \)\(\Leftrightarrow (b - c)x = a(l - c)\,\,(1)\) 

+ Nếu b = c (tức là tam giác ABC cân tại A) thì phương trình (1) vô nghiệm nếu \(l ≠ c\); nghiệm đúng với mọi x nếu \(l = c\). Điều này có nghĩa là:

- Khi tam giác ABC cân tại A và \(l ≠ AB\) thì không có điểm M nào trên cạnh BC thỏa mãn điều kiện của tam giác.

- Khi tam giác ABC cân tại A và \(l = AB\) thì mọi điểm M nằm trên cạnh BC đều thỏa mãn điều kiện của tam giác.

+ Nếu b ≠ c (tức là tam giác ABC không cân ở A), thì phương trình (1) có một nghiệm duy nhất \(x = {{a(l - c)} \over {b - c}}\) .

Xét điều kiện 0 < x < a:

\(0 < x < a \Leftrightarrow 0 < {{a(l - c)} \over {b - c}} < a\)

\(\Leftrightarrow 0 < {{l - c} \over {b - c}} < 1\,\,(2)\)

Với b ≠ c nên có hai trường hợp:

+ Với b > c, ta có: (2) \(⇔ 0 < l – c < b – c ⇔ c < l < b\)

+ Với b < c, ta có: (2) \(⇔ 0 > l – c > b – c ⇔ c > l > b\)

Hai kết quả trên có nghĩa là giá trị \(x = {{a(l - c)} \over {b - c}}\) là nghiệm của bài toán ( điểm M cách B một khoảng bằng \( {{a(l - c)} \over {b - c}}\) khi và chỉ độ dài \(l\) nằm giữa các độ dài b và c)