Bài 59 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao

Cho các phương trình:

\(x^2+ 3x - m + 1 = 0\)  (1) và \(2x^2- x + 1 - 2p = 0\) (2)

a) Biện luận số nghiệm của mỗi phương trình bằng đồ thị.

b) Kiểm tra lại kết quả trên bằng phép tính.

LG a

Biện luận số nghiệm của mỗi phương trình bằng đồ thị.

Lời giải chi tiết:

* Xét phương trình \({x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Ta có: (1) \( \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}m{\rm{ }}\)

Gọi (d) là đường thẳng \(y = m\).

Đồ thị hàm số \(y = x^2+ 3x + 1\) là parabol (P) có đỉnh là điểm \((-1,5; -1,25)\) và hướng bề lõm lên trên.

Do đó:

+ Khi \(m < -1, 25\) thì (d) không cắt (P), phương trình vô nghiệm.

+ Khi \(m = -1,25\) thì (d) và (P) có một điểm chung, phương trình có một nghiệm.

+ Khi \(m > -1,25\) thì (d) cắt (P) tại hai điểm. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

* Xét phương trình \(2x^2- x + 1 – 2p = 0\)   (2)

(2) \(⇔ 2x^2 – x + 1 = 2p\)

Gọi (d) là đường thẳng \(y = 2p\);  (P) là parabol \(y = 2x^2– x + 1 \)

Parabol (P) có đỉnh tại điểm: \(({1 \over 4};\,{7 \over 8})\) và hướng bề lõm lên trên.

Do đó:

+ Nếu \(2p < {7 \over 8}\) , tức là \(p < {7 \over {16}}\) thì (d) không cắt (P), phương trình vô nghiệm.

+ Nếu \(2p = {7 \over 8}\) , tức là \(p = {7 \over {16}}\) thì (d) và (P) có một điểm chung, phương trình có một nghiệm.

+ Nếu \(2p > {7 \over 8}\) , tức là \(p > {7 \over {16}}\) thì (d) cắt (P) tại hai điểm chung, phương trình có hai nghiệm.

LG b

Kiểm tra lại kết quả trên bằng phép tính.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình (1) có : \({\Delta _1}\) = 9 + 4m – 4 = 4m + 5

- Nếu 4m + 5 < 0 ⇔ m < -5/4 = -11/4 thì (1) vô nghiệm

- Nếu 4m + 5 = 0 ⇔ m = -11/4 thì (1) có nghiệm kép

- Nếu 4m + 5 > 0 ⇔ m > -11/4 thì (1) có hai nghiệm phân biệt

Rõ ràng kết quả biện luận bằng đồ thị số nghiệm của (1) và kết quả biện luận số nghiệm của (1) bằng phép tính là như nhau.

Xét phương trình :

2x² – x + 1 – 2p = 0, có \({\Delta _2}\) = 1 – 8 + 16p = 16p - 7

- Nếu 16p – 7 < 0 ⇔ p < 7/16 thì (2) vô nghiệm

- Nếu 16p – 7 = 0 ⇔ p = 7/16 thì (2) có nghiệm kép x = 1/4

- Nếu 16p – 7 > 0 ⇔ p > 7/16 thì (2) có hai nghiệm phân biệt

Ta thấy kết quả biện luận số nghiệm bằng đồ thị và kết quả biện luận số nghiệm của (2) bằng phép tính là như nhau.