Bài 60 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các hệ phương trình

LG a

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + xy = 7 \hfill \cr 
{x^2} + {y^2} - xy = 3 \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải:

Đặt \(S = x + y; P = xy\), giải hệ phương trình ẩn S, P

Từ đó suy ra x, y là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(S = x + y; P = xy\). Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{S^2} - 2P + P = 7 \hfill \cr 
{S^2} - 2P - P = 3 \hfill \cr} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} - P = 7 \hfill \cr 
{S^2} - 3P = 3 \hfill \cr} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2P = 4\\
{S^2} - P = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = 2\\
{S^2} = 9
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S = \pm 3 \hfill \cr 
P = 2 \hfill \cr} \right.\) 

+ Với \(S = 3; P = 2\) thì x, y là nghiệm của phương trình:

\({X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 1 \hfill \cr 
X = 2 \hfill \cr} \right.\)

Ta có nghiệm \((1, 2); (2, 1)\)

+ Với \(S = -3, P = 2\) thì x, y là nghiệm của phương trình 

\({X^2} + 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
X = - 1\\
X = - 2
\end{array} \right.\)

Ta có nghiệm \((-1, -2); (-2, -1)\)

Vậy hệ có 4 nghiệm là: \((1, 2); (2, 1); (-1, -2); (-2, -1)\)

LG b

\(\left\{ \matrix{
2{(x + y)^2} - xy = 1 \hfill \cr 
{x^2}y + x{y^2} = 0 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(S = x + y; P = xy\), ta có:

\(\left\{ \matrix{
2{S^2} - P = 1 \hfill \cr 
SP = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2{S^2} - P = 1\\
S = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
2{S^2} - P = 1\\
P = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S = 0 \hfill \cr 
P = - 1 \hfill \cr} \right.\) hoặc \(\left\{ \matrix{
S = \pm {1 \over {\sqrt 2 }} \hfill \cr 
P = 0 \hfill \cr} \right.\)

+ Với \(S = 0; P = -1\) thì x, y là nghiệm phương trình

\({X^2} – 1 = 0 ⇔ X = ± 1\), ta có nghiệm \((1, -1); (-1, 1)\)

+ Với \(S =  \pm {1 \over {\sqrt 2 }} ; P = 0\), ta có nghiệm: \((0,\,{1 \over {\sqrt 2 }});\,({1 \over {\sqrt 2 }},0);\,(0,\, - {1 \over {\sqrt 2 }});\,( - {1 \over {\sqrt 2 }},0)\)