Bài 5 trang 33 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Đề bài

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số sau:

a)     \(\sqrt {42} \) và \(\sqrt[3]{{51}}\)

b)    \({16^{\sqrt 3 }}\) và \({4^{3\sqrt 2 }}\)

c)     \({(0,2)^{\sqrt {16} }}\) và \({\left( {0,2} \right)^{\sqrt[3]{{60}}}}\)

Lời giải chi tiết

a)     Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {42}  = \sqrt {3.14}  > \sqrt {3.12}  = 6\\\sqrt[3]{{51}} = \sqrt[3]{{3.17}} < \sqrt[3]{{3.72}} = 6\end{array}\)\( \Rightarrow \sqrt {42}  > \sqrt[3]{{51}}\)

b)    Ta có: \({16^{\sqrt 3 }} = {4^{2\sqrt 3 }}\)

\({\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 12;\,\,{\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 18\)

Do \(18 > 12 \Rightarrow 3\sqrt 2  > 2\sqrt 3  \Rightarrow {4^{3\sqrt 2 }} > {4^{2\sqrt 3 }} \Rightarrow {4^{3\sqrt 2 }} > {16^{\sqrt 3 }}\)

c)     Ta có:

 \(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt {16} } \right)^6} = {16^3} = {4^6} = {4^2}{.4^4} = {4^2}{.16^2}\\{\left( {\sqrt[3]{{60}}} \right)^6} = {60^2} = {4^2}{.15^2}\end{array}\)

Vì \({4^2}{.16^2} > {4^2}{.15^2} \Rightarrow \sqrt {16}  > \sqrt[3]{{60}} \Rightarrow 0,{2^{\sqrt {16} }} < 0,{2^{\sqrt[3]{{60}}}}\)