Bài 4.21 trang 114 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) Hai mặt phẳng (BDA') và (B'D'C) song song với nhau.

b) Đường chéo AC' đi qua các trọng tâm G₁ và G₂ của hai tam giác BDA' và B'D'C.

c) G₁ và G₂ chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: BB' // DD' (cùng // CC') và BB' = DD' (cùng = CC') nên BB'D'D là hình bình hành

Suy ra BD // B'D'. Nên BD // (B'D'C) (1)

BC // A'D' (cùng // AD) và BC = A'D' (cùng = AD) nên BCD'A' là hình bình hành

Suy ra A'B // CD'. Nên A'B // (B'D'C) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (BDA') song song với (B'D'C)

b) Gọi O, O' lần lượt là giao điểm của AC và BD, A'C' và B'D'. Suy ra O, O' là trung điểm của AC, A'C'

Gọi I là giao điểm của AC' và A'C

AA' // CC' (cùng // BB') và AA' = CC' (cùng = BB') nên ACC'A' là hình bình hành. Suy ra I là trung điểm của AC' và A'C

Nên AI và A'O là trung tuyến của tam giác AA'C

Mà G₁ là trọng tâm tam giác BDA'. Suy ra G₁ là giao điểm của AI và A'O

Tương tự, G₂ là giao điểm của CO' và C'I

G₁ thuộc AI, G₂ thuộc CI nên G₁ và G₂ đều thuộc AC'.

c) G₁ và G₂ là trọng tâm của hai tam giác BDA' và B'D'C nên \(A{G_1} = \frac{2}{3}AI,{G_1}I = \frac{1}{3}AI\) và \(C'{G_2} = \frac{2}{3}C'I,{G_2}I = \frac{1}{3}CI\)

Ta có: \({G_1}I + {G_2}I = \frac{1}{3}AI + \frac{1}{3}CI = \frac{1}{3}AI + \frac{1}{3}AI = \frac{2}{3}AI\)

Suy ra AG₁ = G₁G₂ = C'G₂ (cùng = \(\frac{2}{3}AI\))

Vậy G₁ và G₂ chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.