Bài 3 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 11

Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n\).

LG a

Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\
{S_n} = \dfrac{{\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)n}}{2}
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Các công thức liên hệ:

\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\
{S_n} = \dfrac{{\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)n}}{2}
\end{array}\)

LG b

Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\
{S_n} = \dfrac{{\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)n}}{2}
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Dòng đầu: Biết \({u_1} =  - 2;{u_{20}} = 55\). Tìm d và \({S_{20}}\).

Ta có \({u_{20}} = {u_1} + 19d \Leftrightarrow 55 =  - 2 + 19d \Leftrightarrow d = 3\)

\( \Rightarrow {S_{20}} = {{\left( {2{u_1} + 19d} \right).20} \over 2} = {{\left( {2.\left( { - 2} \right) + 19.3} \right).20} \over 2} = 530\)

Dòng 2: Biết \(d =  - 4;\,\,{S_{15}} = 120\), tìm \({u_1}\) và \({u_{15}}\).

Ta có \({S_{15}} = {{\left( {2{u_1} + 14.d} \right).15} \over 2} \Leftrightarrow 120 = {{\left( {2{u_1} + 14.\left( { - 4} \right)} \right).15} \over 2} \)

\(\Leftrightarrow {u_1} = 36\)

\( \Rightarrow {u_{15}} = {u_1} + 14d = 36 + 14.\left( { - 4} \right) =  - 20\)

Dòng 3: Biết \({u_1} = 3;\,\,d = {4 \over {27}};\,\,{u_n} = 7\). Tìm n và tính \({S_n}\).

Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \)

\(\Leftrightarrow 7 = 3 + \left( {n - 1} \right).{4 \over {27}} \Leftrightarrow n = 28\)

\( \Rightarrow {S_{28}} = {{\left( {2{u_1} + 27d} \right).28} \over 2} = {{\left( {2.3 + 27.{4 \over {27}}} \right).28} \over 2} = 140\)

Dòng 4: Biết \({u_{12}} = 17\) và \({S_{12}} = 72\). Tìm \({u_1}\) và \(d\).

Ta có \(\left\{ \matrix{  {u_1} + 11d = 17 \hfill \cr   {{\left( {2{u_1} + 11d} \right).12} \over 2} = 72 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {u_1} + 11d = 17 \hfill \cr   2{u_1} + 11d = 12 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {u_1} =  - 5 \hfill \cr   d = 2 \hfill \cr}  \right.\)

Dòng 5: Biết \({u_1} = 2;d =  - 5\) và \({S_n} =  - 205\). Tìm n và tính \({u_n}\).

Ta có

\(\eqalign{  & {S_n} = {{\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)n} \over 2}\cr& \Leftrightarrow  - 205 = {{\left( {2.2 + \left( {n - 1} \right).\left( { - 5} \right)} \right)n} \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow  - 410 = n\left( { - 5n + 9} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow 5{n^2} - 9n - 410 = 0 \Leftrightarrow n = 10  \cr   &  \Rightarrow {u_{10}} = {u_1} + 9d = 2 + 9.\left( { - 5} \right) =  - 43 \cr} \)

Vậy ta điền được bảng như sau :