Lý thuyết phương trình đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa : 

vectơ \(\vec{u}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(∆\) nếu \(\vec{u}\) ≠ \(\vec{0}\) và giá của \(\vec{u}\) song song hoặc trùng với \(∆\)

Nhận xét :

- Nếu \(\vec{u}\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(∆\) thì \(k\vec{u} ( k≠ 0)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(∆\) , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết môt điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) và nhận vectơ \(\vec{u}  = (u_1; u_2)\) làm vectơ chỉ phương là :

\(∆\) : \(\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+tu_{1}& \\ y= y_{0}+tu_{2}& \end{matrix}\right.\)

-Khi hệ số \(u_1≠ 0\) thì tỉ số \(k= \frac{u_{1}}{u_{2}}\) được gọi là hệ số góc của đường thẳng.

Từ đây, ta có phương trình đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) và có hệ số góc k là:

\(y – y_0 = k(x – x_0)\)

Chú ý: Ta đã biết hệ số góc \(k = \tan α\) với góc \(α\) là góc của đường thẳng \(∆\) hợp với chiều dương của trục \(Ox\)

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 

Định nghĩa: Vectơ \(\vec{n}\) được gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng \(∆\) nếu \(\vec{n}\)  ≠ \(\vec{0}\) và \(\vec{n}\) vuông góc với vectơ chỉ phương của \(∆\)

Nhận xét:

- Nếu \(\vec{n}\)  là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(∆\) thì k\(\vec{n}\) \((k ≠ 0)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(∆\), do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.

- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa: Phương trình \(ax + by + c = 0\) với \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\), được gọi là phương trinh tổng quát của đường thẳng.

Trường hợp đặc biết:

+  Nếu \(a = 0 => y = \frac{-c}{b};  ∆ // Ox\)

+ Nếu \(b = 0 => x = \frac{-c}{a}; ∆ // Oy\)

+ Nếu \(c = 0 => ax + by = 0 =>  ∆\) đi qua gốc tọa độ

+ Nếu \(∆\) cắt \(Ox\) tại \((a; 0)\) và \(Oy\) tại \(B (0; b)\) thì ta có phương trình đường thẳng \(∆\) theo đoạn chắn:

                \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng  ∆₁ và ∆₂ 

có phương trình tổng quát lần lượt là :

a₁x+b₁y + c₁ = 0 và a ₂+ b₂y +c₂ = 0

Điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\)) là điểm chung của  ∆₁ và ∆₂  khi và chỉ khi \((x_0 ;y_0)\) là nghiệm của hệ hai phương trình:

(1)  \(\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2y}+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\) 

Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆₁ cắt ∆₂

b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆₁ // ∆₂

c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆₁ = ∆₂

6.Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tạo thành 4 góc. Nếu ∆₁ không vuông góc với ∆₂thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂. Nếu ∆₁ vuông góc với  ∆₂ thì ta nói góc giữa ∆₁ và ∆₂bằng  90⁰  .Trường hợp  ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa  ∆₁ và ∆₂ bằng 0⁰. Như vậy gương giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng  90⁰  

Góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ được kí hiệu là \(\widehat{\Delta _{1},\Delta _{2}}\)

Cho hai đường thẳng  ∆₁ = a₁x+b₁y + c₁ = 0 

                               ∆₂ =  a ₂+ b₂y +c₂ = 0⁰ 

Đặt \(\varphi\) = \(\widehat{\Delta _{1},\Delta _{2}}\)

                  \(\cos  \varphi\) = \(\frac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\)

Chú ý:

+ \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {n_1} \bot {n_2} \Leftrightarrow {a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2} = 0\)

+ Nếu  \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)  có phương trình y = k₁ x + m₁ và y = k₂ x + m₂ thì  

\({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {k_1}.{k_2} =  - 1\)

7.Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(∆\) có phương trình \(ax+by+c-0\) và điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\)).Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến đường thẳng  \(∆\) kí hiệu là \((M_0,∆)\), được tính bởi công thức

                     \(d(M_0,∆)=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)