Bài 5 trang 80 SGK Hình học 10

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

LG a

\(d_1: 4x - 10y + 1 = 0 \);

\(d_2 : x + y + 2 = 0\)

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng: \({d_1}:\;\;ax + by + c = 0,\) \({d_2}:\;\;a'x + b'y + c' = 0.\) Khi đó: 

+) \({d_1}  \cap  {d_2}:\;\;\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}.\)

+) \({d_1}//{d_2}:\;\;\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}.\)

+) \({d_1} \equiv {d_2}:\;\;\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}.\)

Lời giải chi tiết:

 Xét hệ \(\left\{\begin{matrix} 4x-10y + 1= 0& \\ x + y + 2 = 0& \end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\dfrac{4}{1} \ne \dfrac{{ - 10}}{1} \Rightarrow {d_1} \cap {d_2}.\)

Vậy \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau.

Chú ý:

Có thể bấm máy tính giải hệ trên ra nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\) suy ra hai đường thẳng cắt nhau.

LG b

\(d_1  :12x - 6y + 10 = 0  \);

\(d_2:\left\{\begin{matrix} x= 5+t& \\ y= 3+2t& \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải:

Viết lại \(d_2\) về dạng tổng quát và nhận xét các bộ tỉ số.

Lời giải chi tiết:

Viết \(d_2:\left\{\begin{matrix} x= 5+t& \\ y= 3+2t& \end{matrix}\right.\) dưới dạng tổng quát.

\(\begin{array}{l}
{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y = 3 + 2t
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x = 10 + 2t\\
y = 3 + 2t
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 2x - y = 7\\
\Leftrightarrow 2x - y - 7 = 0
\end{array}\)

Do đó \(d_2: 2x - y - 7 = 0.\)

Ta có: \(\dfrac{{12}}{2} = \dfrac{{ - 6}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{10}}{{ - 7}} \Rightarrow {d_1}//{d_2}.\)

Vậy \(d_1// d_2\).

Cách khác:

Cách 1:

Giải hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y = 3 + 2t\\
12x - 6y + 10 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y = 3 + 2t\\
12\left( {5 + t} \right) - 6\left( {3 + 2t} \right) + 10 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y = 3 + 2t\\
12t + 60 - 18 - 12t + 10 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y = 3 + 2t\\
52 = 0\left( {VN} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Hệ trên vô nghiệm nên hai đường thẳng song song.

Cách 2:

\({d_1}\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {12; - 6} \right)\) làm VTPT.

\({d_2}\) nhận \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;2} \right)\) làm VTCP nên nhận \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2; - 1} \right)\) làm VTPT.

Dễ thấy \(\overrightarrow {{n_1}}  = 6\overrightarrow {{n_2}} \) nên \({d_1},{d_2}\) song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm \(M\left( {5;3} \right) \in {d_2}\) thay vào \({d_1}\) ta được:

\(12.5 - 6.3 + 10 = 52 \ne 0\) nên \(M \notin {d_1}\).

Vậy \({d_1}//{d_2}\).

LG c

\(d_1:8x + 10y - 12 = 0  \);

\( d_2 :  \left\{\begin{matrix} x= -6+5t& \\ y= 6-4t& \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải:

Viết \(d_2\) dưới dạng tổng quát và nhận xét các bộ số tỉ lệ.

Lời giải chi tiết:

\(d_1:8x + 10y - 12 = 0  \)

Viết \( d_2  :  \left\{\begin{matrix} x= -6+5t& \\ y= 6-4t& \end{matrix}\right.\) dưới dạng tổng quát:

\(\begin{array}{l}
{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}
x = - 6 + 5t\\
y = 6 - 4t
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x = - 24 + 20t\\
5y = 30 - 20t
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 4x + 5y = 6\\
\Leftrightarrow 4x + 5y - 6 = 0
\end{array}\)

Do đó \(d_2: 4x + 5y - 6 = 0\)  

Ta có: \(\dfrac{8}{4} = \dfrac{{10}}{5} = \dfrac{{ - 12}}{{ - 6}}\left( { = 2} \right)\) \( \Rightarrow {d_1} \equiv {d_2}.\)

Vậy \(d_1\) trùng \(d_2\).

Cách khác:

Cách 1: Xét hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
8x + 10y - 12 = 0\\
x = - 6 + 5t\\
y = 6 - 4t
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 6 + 5t\\
y = 6 - 4t\\
8\left( { - 6 + 5t} \right) + 10\left( {6 - 4t} \right) - 12 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 6 + 5t\\
y = 6 - 4t\\
- 48 + 40t + 60 - 40t - 12 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 6 + 5t\\
y = 6 - 4t\\
0 = 0\left( {dung} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do đó hệ có vô số nghiệm hay \(d_1\) trùng \(d_2\).

Cách 2: 

\({d_1}\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {8;10} \right)\) làm VTPT.

\({d_2}\) nhận \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {5; - 4} \right)\) làm VTCP nên nhận \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4;5} \right)\) làm VTPT.

Dễ thất \(\overrightarrow {{n_1}}  = 2\overrightarrow {{n_2}} \) nên \({d_1},{d_2}\) song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm \(M\left( { - 6;6} \right) \in {d_2}\), thay vào \({d_1}\) được:

\(8.\left( { - 6} \right) + 10.6 - 12 = 0\) nên \(M \in {d_1}\).

Vậy \({d_1} \equiv {d_2}\).