Giải mục 4 trang 108, 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Hoạt động 5

Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kỳ 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.

a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn \({u_n}\) sau chu kì thứ n

b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tổng quát của cấp số nhân \({u_n} = {u_1} \times {q^{n - 1}}\) và tổng n số hạng của cấp số nhân \({S_n} = \frac{{{u_1} \left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}}\).

Lời giải chi tiết:

a) \({u_n} = 50 \times {2^{n - 1}}\)

b) \(10000 = {S_n} = \frac{{50\left( {{2^n} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 50\left( {{2^n} - 1} \right) \Rightarrow {2^n} = 201 \Rightarrow n \approx 7.651\)

Vậy số lượng vi khuẩn sẽ vượt 10000 con sau \(7.651 \times 4 = 30.604\) giờ

Luyện tập 5

Tính \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {n - \sqrt n } \right)\).

Phương pháp giải:

Biến đổi và dùng công thức giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0,k > 0\) để tính toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {n - \sqrt n } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } n.\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt n }}} \right)\\\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } n =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {1 - \frac{1}{{\sqrt n }}} \right) = 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {n - \sqrt n } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } n.\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt n }}} \right) =  + \infty \end{array}\)