Giải mục 3 trang 107, 108 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Hoạt động 4

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó ô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi \({u_1},\;{u_2}, \ldots ,\;{u_n}, \ldots \) lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

a) Tính tổng \({S_n} = {u_1} + {u_2} +  \ldots  + {u_n}\)

b) Tìm \(S = \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {S_n}\)

Phương pháp giải:

Dựa vào đề bài để tìm ra biểu thức \({S_n}\). Sau đó tìm giới hạn.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({u_n} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\).

a) \({S_n} = \frac{{\frac{1}{2} \times \left( {\frac{1}{{{2^n}}} - 1} \right)}}{{\frac{1}{2} - 1}} = 1 - \frac{1}{{{2^n}}}\).

b) \(S = \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {S_n}= \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right)\; = 1\).

Luyện tập 4

Tính tổng \(S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{{49}} +  \ldots  + \frac{2}{{{7^{n - 1}}}} +  \ldots \).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).

.

Lời giải chi tiết:

\(S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{{49}} +  \ldots  + \frac{2}{{{7^{n - 1}}}} +  \ldots  = 2 \times \left( {1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{{49}} +  \ldots  + \frac{1}{{{7^{n - 1}}}} +  \ldots } \right) = 2 \times \frac{1}{{1 - \frac{1}{7}}} = \frac{7}{3}\).

Vận dụng 2

Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100km.h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu a = 100(km)

a) Tính thời gian \({t_1},\;{t_2}, \ldots ,{t_n}, \ldots \) tương ứng để Achilles đi từ \({A_1}\) đến \({A_2}\), từ \({A_2}\) đến \({A_3}\),…, từ \({A_n}\) đến \({A_{n + 1}}\),…

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường \({A_1}{A_2},\;{A_2}{A_3}, \ldots ,\;{A_n}{A_{n + 1}}\),… tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?

Phương pháp giải:

Để tính tổng thời gian chạy hết quãng đường, ta sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Lời giải chi tiết:

Ta có: Achilles chạy với vận tốc 100km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h.

a) Để chạy hết quãng đường từ \({A_1}\) đến \({A_2}\) với \({A_1}{A_2} = a = 100\)(km), Achilles phải mất thời gian \({t_1} = \frac{{100}}{{100}} = 1(h)\). Với thời gian \({t_1}\)này, rùa đã chạy được quãng đường \({A_2}{A_3} = 1(km)\).

Để chạy hết quãng đường từ \({A_2}\)đến \({A_3}\)với \({A_2}{A_3} = 1(km)\), Achilles phải mất thời gian \({t_2} = \frac{1}{{100}}(h)\). Với thời gian \({t_2}\)này, rùa đã chạy được quãng đường \({A_3}{A_4} = \frac{1}{{100}}(km)\)

Để chạy hết quãng đường từ \({A_n}\)đến \({A_{n + 1}}\)với \({A_n}{A_{n + 1}} = \frac{1}{{{{100}^{ - 2}}}}(km)\), Achilles phải mất thời gian \({t_n} = \frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}}(h)\).

b) Tổng thời gian cần thiết để chạy hết quãng đường từ \({A_1}{A_2},{A_2}{A_3},...,{A_n}{A_{n + 1}},...\)tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là:

\(T = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}} + \frac{1}{{{{100}^n}}} + ...(h)\)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 1,q = \frac{1}{{100}}\), nên ta có:

\(T = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{100}}{{99}} = 1\frac{1}{{99}}(h)\)

Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau: \(1\frac{1}{{99}}(h)\)

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa