Giải mục 2 trang 120, 121 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Hoạt động 2

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x\;,\;0 \le x \le \frac{1}{2}}\\{1\;,\frac{1}{2} < x \le 1}\end{array}} \right.\) và \(g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\;,0 \le x \le \frac{1}{2}}\\{1\;,\frac{1}{2} < x \le 1}\end{array}} \right.\)với đồ thị tương ứng như Hình 5.7

Xét tính liên tục của các hàm số f(x) và g(x) tại điểm \(x = \frac{1}{2}\)và nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị.

Phương pháp giải:

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a,b} \right]\) nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\) và

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right),\;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} 2x = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} 1 = 1\)

\(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\)

Vậy \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = \frac{1}{2}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} x = \frac{1}{2}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} 1 = 1\)

\(g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\)

Vậy \(g\left( x \right)\) gián đoạn tại \(x = \frac{1}{2}\)

Đồ thị \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right],\) đồ thị \(g\left( x \right)\) bị gián đoạn tại \(x = \frac{1}{2}\)

Luyện tập 2

Tìm các khoảng trên đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 2}}\) liên tục.

Phương pháp giải:

Hàm phân thức liên tục trên tập xác định.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của \(f\left( x \right)\) là \(\left( { - \infty ;\; - 2} \right) \cup \left( { - 2;\; + \infty } \right)\)

Vây hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right);\left( { - 2; + \infty } \right)\).