Giải mục 1 trang 17, 18 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Hoạt động 1

a) Cho \(a = \frac{\pi }{4}\) và \(b = \frac{\pi }{6}\), hãy chứng tỏ \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).

b) Bằng cách viết \(a + b = a - \left( { - b} \right)\) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính \(\cos \left( {a + b} \right).\)

c) Bằng cách viết \(\sin \left( {a - b} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a - b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) + b} \right]\;\)và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính \(\sin \left( {a - b} \right)\).

Phương pháp giải:

Tính giá trị các góc lượng giác đặc biệt

Sử dụng công thức hai góc phụ nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: VT = \(\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{{12}} = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}\)

\(VP = \cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4} = VT\)

Vậy \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\)

b) Ta có: \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos (a---b) = \cos a\cos \left( { - b} \right) + \sin a\sin \left( { - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\)

c) Ta có: \(\sin \left( {a - b} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a - b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) + b} \right] = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\cos b + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\sin b\)

     \( = \left( {\cos \frac{\pi }{2}\cos a + \sin \frac{\pi }{2}\sin a} \right)\cos b + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\sin b = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)

Luyện tập

Chứng minh rằng:

a)  \(\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\);

b) \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}\;\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\;x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,\;k \in \mathbb{Z}} \right)\;\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cộng lượng giác. Xác định giá trị lượng giác đặc biệt.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

      \(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin x.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \cos x.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sin x + \cos x\)

b) Ta có:

\(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan x}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}\tan x}} = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}\;\)

Vận dụng

Giải bài toán trong tình huống mở đầu

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( t \right) = {f_1}\left( t \right) + {f_2}\left( t \right) = 5\sin t + 5\cos t = 5\left( {\sin t + \cos t} \right) = 5\sqrt 2 \sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Suy ra: \(k = 5\sqrt 2 ,\;\varphi  = \frac{\pi }{4}\).