Giải bài tập 2.11 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là \({45^0}\), hãy tính:
a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \);
b) \(\left( {\overrightarrow a + 3\overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)\)
c) \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2}\).

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1.1.\cos {45^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

b) \(\left( {\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right) = {\overrightarrow a ^2} + \overrightarrow a .\overrightarrow b  - 6{\overrightarrow b ^2} = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 6.1 =  - 5 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

c) \({\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2} = 1 + 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + 1 = 2 + \sqrt 2 \)