Bài 9* trang 37 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30°  thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền. 

Lời giải chi tiết

Xét \(∆ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ ;\widehat B = 30^\circ .\) Ta chứng minh: \(\displaystyle AC = {1 \over 2}BC.\)

Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(CD = AC\)

Suy ra: \(∆ACD\) cân tại \(C\)

Mà \(\widehat C + \widehat B = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông)

\( \Rightarrow \widehat C = 90^\circ  - \widehat B = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \)

Suy ra: \(∆ACD\) đều (vì \(∆ACD\) là tam giác cân có 1 góc bằng \(60^0\))

\( \Rightarrow  AC = AD = DC\) (1) và \(\widehat {{A_1}} = 60^\circ \)

\(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC} = 90^\circ  \)\(\Rightarrow \widehat {{A_2}} = 90^\circ  - \widehat {{A_1}} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \)

Trong \(∆ADB\) ta có: \(\widehat {{A_2}} = \widehat B = 30^\circ \)

Suy ra: \(∆ADB\) cân tại \(D\) (vì có 2 góc kề cạnh \(AB\) bằng nhau)

\( \Rightarrow  AD = DB\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(AC = CD = DB\) mà \(CD + DB = BC ,\) suy ra \(AC=CD=DB=\dfrac{1}{2}BC\)

Vậy \(\displaystyle AC = {1 \over 2}BC.\)