Bài 1.4, 1.5, 1.6 phần bài tập bổ sung trang 37, 38 SBT toán 7 tập 2

Bài 1.4

Cho tam giác \(  ABC\) với \(  AB \leqslant AC.\) Trên cạnh \( BC\) lấy một điểm \( M\) bất kỳ khác \( B\) và \( C.\) Chứng minh rằng \( AM < AC.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng: 

+) Trong một tam giác, góc ngoài tại một đỉnh lớn hơn góc trong tại đỉnh không kề với đỉnh đó.

+) Trong tam giác tù, đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất. 

+) Trong một tam giác, đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Lời giải chi tiết:

Trong tam giác \(ABC\) có \(AB \le AC\) (gt) nên \(\widehat {C} \le \widehat B\) (*) (đối diện với cạnh nhỏ hơn là góc nhỏ hơn)

Xét tam giác \(AMB\) có \(\widehat {{M_1}} \) là góc ngoài tại đỉnh \(M\) nên \(\widehat {{M_1}} >\widehat B\) (**) (góc ngoài tại một đỉnh lớn hơn góc trong tại đỉnh không kề với đỉnh đó)

Từ (*) và (**) suy ra: \(\widehat {{M_1}} >\widehat C\)

Xét tam giác \(AMC\) có \(\widehat {{M_1}} >\widehat C\) nên \(AC>AM\) (cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)

Cách khác:

Ta có \(\widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}} = 180^\circ \) nên chỉ có hai khả năng xảy ra ứng với các vị trí của \( M\) trên \( BC\) là \(\widehat {{M_1}} > 90^\circ \) hoặc \(\widehat {{M_2}} \ge 90^\circ \).

- Nếu \(\widehat {{M_1}} > 90^\circ \) thì tam giác \( AMC\) có góc \(\widehat {AMC}\) tù nên \( AM < AC\)

- Nếu \(\widehat {{M_2}} \ge 90^\circ \) thì trong tam giác \(ABM\) có \(AM < AB.\) Kết hợp với giả thiết \(AB \leqslant AC,\) ta suy ra \( AM < AC.\)

Vậy ta luôn có \( AM < AC.\)

Bài 1.5

Cho tam giác \(ABC\) với \(AB ≤  BC ≤ CA.\) Trên các cạnh \(BC\) và \(AC\) lần lượt lấy hai điểm \(M\) và \(N\) (khác \(A, B, C\)). Chứng minh rằng \(MN < AC.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả bài 1.4

Lời giải chi tiết:

Kẻ đoạn thẳng \(AM.\)

Xét tam giác \(MAC.\)

Sử dụng kết quả bài 1.4 ta có \(MN < a,\) trong đó \(a\) là đoạn lớn nhất trong hai đoạn thẳng \(MA\) và \(MC.\) 

Trong tam giác \(ABC\) có \(AB ≤ AC, M ∈ BC\) \((M \ne B, M \ne C);\)

Sử dụng kết quả bài 1.4, ta có \(AM < AC.\)

Mặt khác \(MC < BC ≤ CA.\)

Suy ra: \(MA<AC;MC<AC\)

Mà \(a\) là đoạn lớn nhất trong hai đoạn thẳng \(MA\) và \(MC,\) nên \(a < AC.\)

Do đó \(MN < AC.\)

Bài 1.6

Cho tam giác \(ABC\) có góc \(A\) tù. Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(D\) (khác \(A\) và \(B),\) trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(E\) (khác \(A\) và \(C).\) Chứng minh rằng \(DE < BC.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng: 

+) Trong một tam giác, góc ngoài tại một đỉnh lớn hơn góc trong tại đỉnh không kề với đỉnh đó.

+) Trong tam giác tù, góc tù là góc lớn nhất và đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất. 

+) Trong một tam giác, đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác \(CDE.\)

Ta có \(\widehat {E_1} > \widehat A\) (vì \(\widehat {E_1} \) là góc ngoài tại đỉnh \(E\) của tam giác \(ADE)\), mà \(Â \) là góc tù nên \(\widehat {{E_1}}\) là góc tù.

Xét tam giác \(EDC\) có \(\widehat {{E_1}}\) là góc tù nên \(\widehat {{E_1}}>\widehat {ECD}\) 

Suy ra  \(CD > DE \) (1) (đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn) 

Xét tam giác \(BCD.\)

Ta có \(\widehat {{D_1}} > \widehat A\) (vì \(\widehat {D_1} \) góc ngoài tại đỉnh \(D\) của tam giác \(ADC)\), mà \(Â \) là góc tù nên \(\widehat {{D_1}}\) là góc tù.

Xét tam giác \(BDC\) có \(\widehat {{D_1}}\) là góc tù nên \(\widehat {{D_1}}>\widehat {CBD}\) 

Suy ra  \(BC > CD  \) (2) (đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn) 

Từ (1) và (2) suy ra \(BC > DE.\)