Bài 87 trang 149 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Hai đoạn thẳng \(AC, BD\) vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng. Tính các độ dài \(AB, BC, CD, DA\) biết \(AC = 12cm, BD = 16cm.\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD.\)

Ta có:

\(\begin{gathered}
IA = IC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6(cm) \hfill \\
IB = ID = \frac{{BD}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\left( {cm} \right) \hfill \\ 
\end{gathered} \)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông \(AIB\), ta có:

\( \Rightarrow  A{B^2} = I{A^2} + I{B^2} \)

\( \Rightarrow A{B^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100 \)

\( \Rightarrow AB = 10 (cm)\).

Xét \(∆IAB \) và \( ∆IAD\) có:

\(IA\) chung

\(IB=ID\) (chứng minh trên)

\(\widehat {AIB} = \widehat {AID} = {90^o}\)

\( \Rightarrow ∆IAB = ∆IAD\) (c.g.c)

\( \Rightarrow AB= AD\) (hai cạnh tương ứng)   (1)

Xét \(∆IAD\) và \( ∆ICB\) có:

\(IA=IC\) (chứng minh trên)

\(ID=IB\) (chứng minh trên)

\(\widehat {AID} = \widehat {CIB}=90^o\)

\( \Rightarrow ∆IAD = ∆ICB \) (c.g.c)

\( \Rightarrow AD= CB\) (hai cạnh tương ứng)    (2)

Xét \(∆ICB \) và \( ∆ICD\) có:

\(IC\) chung

\(IB=ID\) (chứng minh trên)

\(\widehat {CIB} = \widehat {CID} = {90^o}\)

\( \Rightarrow ∆ICB = ∆ICD\) (c.g.c)

\( \Rightarrow  CB=CD \) (hai cạnh tương ứng)    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AD = BC = CD = AB = 10\) (cm).