Bài 7.4, 7.5, 7.6 phần bài tập bổ sung trang 49 SBT toán 7 tập 2

Bài 7.4

Trong tam giác \(ABC,\) hai đường trung trực của hai cạnh \(AB\) và \(AC\) cắt nhau tại điểm \(D\) nằm trên cạnh \(BC.\) Chứng minh rằng:

a) \(D\) là trung điểm của cạnh \(BC.\)

b) \(\widehat A = \widehat B + \widehat C\) 

Phương pháp giải:

Sử dụng:

+) Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó

+) Tính chất tam giác cân

Lời giải chi tiết:

a) Vì \(D\) thuộc đường trung trực cạnh \(AB\) nên \(DB=DA\) (tính chất)

Vì \(D\) thuộc đường trung trực cạnh \(AC\) nên \(DC=DA\) (tính chất)

Suy ra \(DB=DC\,(=DA)\) hay \(D\) là trung điểm cạnh \(BC.\)

b) Vì \(DA=DB (cmt)\) nên tam giác \(DAB\) cân tại \(D.\) Suy ra \(\widehat B = \widehat {{A_1}}\).

Tương tự \(\widehat C = \widehat {{A_2}}\).

Do đó: \(\widehat A = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat B + \widehat C\)

Bài 7.5

Chứng minh rằng nếu trong tam giác \(ABC\) có hai cạnh \(AB\) và \(AC\) không bằng nhau thì đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \(A\) không vuông góc với \(BC.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

+) Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó

Lời giải chi tiết:

Vì \(AM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) nên \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) 

Giả sử \(AM \bot BC\). Khi đó \(AM\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\) Suy ra \(AB = AC.\) 

Điều này mâu thuẫn với giả thiết \(AB\) không bằng \(AC.\) Vậy trung tuyến \(AM\) không vuông góc với \(BC.\)

Bài 7.6

Cho đường thẳng \(d\) và hai điểm \(A, B\) nằm về một phía của \(d\) sao cho \(AB\) không vuông góc với \(d.\) Hãy tìm trên \(d\) một điểm \(M\) sao cho \(\left| {MA - MB} \right|\) có giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

Sử dụng: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left| {MA - MB} \right| \ge 0\) với một điểm \(M\) tùy ý và \(\left| {MA - MB} \right| = 0\) với các điểm \(M\) thỏa mãn \(MA = MB.\) Khi đó, các điểm \(M\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(AB.\)

Mặt khác \(M\) phải thuộc \(d.\) Vậy \( M\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) (tồn tại giao điểm này vì \(AB\) không vuông góc với \(d.)\)

Tóm lại: Khi \(M\) là giao điểm của \(d\) và đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) thì \(\left| {MA - MB} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất là bằng \(0.\)