Bài 5.23 trang 203 SBT đại số và giải tích 11

Xác định m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R

LG a

\(f'\left( x \right) > 0\) với \(f\left( x \right) = {m \over 3}{x^3} - 3{x^2} + mx - 5\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(f'\left( x \right) = \dfrac{m}{3}.3{x^2} - 3.2x + m\) \( = m{x^2} - 6x + m\)

\(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m > 0\\\Delta ' = 9 - {m^2} < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m <  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3\)

Vậy \(m > 3\).

LG b

\(g'\left( x \right) < 0\) với \(g\left( x \right) = {m \over 3}{x^3} - {m \over 2}{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 15.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(g'\left( x \right) = \dfrac{m}{3}.3{x^2} - \dfrac{m}{2}.2x + \left( {m + 1} \right)\) \( = m{x^2} - mx + \left( {m + 1} \right)\)

\(g'\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta  = {m^2} - 4m\left( {m + 1} \right) < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - 3{m^2} - 4m < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m <  - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m <  - \dfrac{4}{3}\)

Vậy \(m <  - \dfrac{4}{3}\).