Bài 5.121 trang 218 SBT đại số và giải tích 11

Cho hàm số

\(f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx + d\) ;    (C)

\(g\left( x \right) = {x^2} - 3x - 1.\)

LG a

Xác định b, c, d sao cho đồ thị (C) đi qua các điểm \(\left( {1;3} \right),\left( { - 1; - 3} \right)\) và \(f'\left( {{1 \over 3}} \right) = {5 \over 3}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2bx + c\)

Theo bài ra ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 + b + c + d = 3\\ - 1 + b - c + d =  - 3\\3.\dfrac{1}{9} + 2b.\dfrac{1}{3} + c = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c + d = 2\\b - c + d =  - 2\\2b + 3c = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 1\\c = 2\\d = 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 2x + 1\)

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 2\)

Tại \({x_0} = 1\) thì \({y_0} = 3\) và \(f'\left( 1 \right) = 3\)

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\left( {1;3} \right)\) là:

\(y = 3\left( {x - 1} \right) + 3\) hay \(y = 3x\).

LG c

Giải phương trình \(f'\left( {\sin t} \right) = 3\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& f'\left( {\sin t} \right) = 3{\sin ^2}t - 2\sin t + 2. \cr 
& f'\left( {\sin t} \right) = 3 \cr 
& \Leftrightarrow 3{\sin ^2}t - 2\sin t - 1 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin t = 1 \hfill \cr 
\sin t = - {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr 
t = \arcsin \left( { - {1 \over 3}} \right) + k2\pi \hfill \cr 
t = \pi - \arcsin \left( { - {1 \over 3}} \right) + k2\pi \hfill \cr} \right.\cr} \) \(\left( {k \in Z} \right)\)

LG d

Giải phương trình \(f''\left( {\cos t} \right) = g'\left( {\sin t} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& f''\left( x \right) = 6x - 2 \cr 
& \Rightarrow f''\left( {\cos t} \right) = 6\cos t - 2 \cr} \) ;

\(\eqalign{
& g'\left( x \right) = 2x - 3 \cr 
& \Rightarrow g'\left( {\sin t} \right) = 2\sin t - 3. \cr} \)

Vậy

\(\eqalign{
& 6\cos t - 2 = 2\sin t - 3 \cr 
& \Leftrightarrow 2\sin t - 6\cos t = 1 \cr 
& \Leftrightarrow \sin t - 3\cos t = {1 \over 2}. \cr} \)

Đặt \(\tan \varphi  = 3,\) ta được:

\(\begin{array}{l}
\sin t - \tan \varphi \cos t = \dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \sin t - \dfrac{{\sin \varphi }}{{\cos \varphi }}\cos t = \dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \sin t\cos \varphi - \sin \varphi \cos t = \dfrac{1}{2}\cos \varphi \\
\Leftrightarrow \sin \left( {t - \varphi } \right) = \dfrac{1}{2}\cos \varphi = \alpha
\end{array}\)

Suy ra 

\(\left[ \matrix{
t = \varphi + \arcsin \alpha + k2\pi \hfill \cr 
t = \pi + \varphi - \arcsin \alpha + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in Z} \right). \hfill \cr} \right.\)

LG e

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{f''\left( {\sin 5z} \right) + 2} \over {g'\left( {\sin 3z} \right) + 3}}.\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{f''\left( {\sin 5z} \right) + 2} \over {g'\left( {\sin 3z} \right) + 3}} \) \(\displaystyle  = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{6\sin 5z - 2 + 2}}{{2\sin 3z - 3 + 3}}\) \(\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{6\sin 5z} \over {2\sin 3z}} \) \(\displaystyle = 5\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{{{\sin 5z} \over {5z}}} \over {{{\sin 3z} \over {3z}}}} = 5.\)