Bài 4.5 phần bài tập bổ sung trang 159 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình chóp cụt đều có đáy là hình vuông, các cạnh đáy là \(a\) và \(b.\) Biết diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, tính chiều cao của hình chóp cụt đều.

Lời giải chi tiết

Xét hình chóp cụt đều \(ABCD.A’B’C’D’\) như hình vẽ.

Gọi \(M, M’\) thứ tự là trung điểm của \(BC, B’C’.\) Khi đó \(MM’\) là đường cao của hình thang cân \(BCC’B’\).

Do đó diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều là:

\(\displaystyle{S_{xq}} = 4.{{a + b} \over 2}.MM' \)\(\,= \left( {2a + 2b} \right).MM'\)

Theo giả thiết, diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy ta có:

\(\left( {2a + 2b} \right).MM' = {a^2} + {b^2}\)

hay \( \displaystyle MM' = {{{a^2} + {b^2}} \over {2\left( {a + b} \right)}}\)         (1)

Dễ thấy \(OM // O’M’\) nên \(OM\) và \(O’M’\) xác định mặt phẳng \((OMM’O’)\).

Vì OM là đường trung bình của tam giác ABC nên \(OM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}\)

Vì \(O'M'\) là đường trung bình của tam giác \(A'B'C'\) nên \(O'M'=\dfrac{A'B'}{2}=\dfrac{b}{2}\)

Trong mặt phẳng \((OMM’O’)\), kẻ \(MH ⊥ O’M’\).

Khi đó \(OMHO'\) là hình chữ nhật nên \(O'H=OM=\dfrac{a}{2},\)\(MH=OO'=h\)

Suy ra \(HM’ = O’M’ - O’H = \displaystyle {{b - a} \over 2}\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(MHM’ \), ta có:

\(MM{'^2} = M{H^2} + HM{'^2} \)\(\,\displaystyle = {h^2} + {\left( {{{b - a} \over 2}} \right)^2}\)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\begin{array}{l}
{h^2} + {\left( {\dfrac{{b - a}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}{{4{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\\
\Rightarrow {h^2} = \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}{{4{{\left( {a + b} \right)}^2}}} - \dfrac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{4}\\
= \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2} - {{\left( {b - a} \right)}^2}.{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{4{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2} - {{\left[ {\left( {b - a} \right).\left( {a + b} \right)} \right]}^2}}}{{4{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2} - {{\left( {{b^2} - {a^2}} \right)}^2}}}{{4{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} + {a^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {a^2} + {b^2}} \right)}}{{4{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{2{a^2}.2{b^2}}}{{4{{\left( {a + b} \right)}^2}}}= \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}
\end{array}\)

Vậy \(\displaystyle h = {{ab} \over {a + b}}\).