Bài 4.31 trang 109 SBT đại số 10

Đề bài

Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào có nghiệm

A. \(\sqrt {x - 2}  + \sqrt {x - 4}  < x\)

B. \(\sqrt {4 - x} (\sqrt x  + 2)\sqrt {x - 9}  < x + 1\)

C. \(\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1}  \ge 2\sqrt {{x^6} + 1} \)

D. \(\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1}  < 2\sqrt {{x^6} + 1} \)

Lời giải chi tiết

Trắc nghiệm:

Ta thấy bất phương trình ở câu c đúng với \(x = 0\).

Vậy chọn đáp án C

Tự luận:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \(\sqrt {{x^2} + 1} \) và \(\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \) ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \\ \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {{x^6} + 1} } \\ = 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\\ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1}  \ge 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\end{array}\)

Vậy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x\).