Bài 4.25 trang 108 SBT đại số 10

Chứng minh rằng các bất phương trình sau đây vô nghiệm: 

LG a

\({x^2} + \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} < 1\).

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức cô-si

Lời giải chi tiết:

Theo bất đẳng thức Cô – si ta có  \(({x^2} + 1) + \dfrac{1}{{({x^2} + 1)}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 1}}}  = 2\) \( \Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} \ge 1\forall x\)

Vì vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

LG b

\(\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} < 2\).

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức cô-si

Lời giải chi tiết:

Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương \(\sqrt {{x^2} - x + 1} ;\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\) ta được:

\(\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\) \( \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} - x + 1} .\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}}  = 2\)

\( \Rightarrow \sqrt {{x^2} - x + 1}  + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} \ge 2\)

Vậy bất phương trình \(\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} < 2\) vô nghiệm.

LG c

\(\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1}  < 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cô - si và hằng đẳng thức \((a + b)({a^2} - ab + {b^2}) = {a^3} + {b^3}\).

Chú ý: \(\sqrt {\sqrt a }  = \sqrt[4]{a}\).

Lời giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \(\sqrt {{x^2} + 1} \) và \(\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \) ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \\ \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {{x^6} + 1} } \\ = 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\\ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1}  \ge 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\end{array}\)

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.