Bài 3.7 trang 103 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {MN} \)

b) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {PQ} \)

Lời giải chi tiết

a) Ta có  MPNQ là hình bình hành vì  \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {QN}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {PN}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).

Do đó  \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {MP}  = \dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{2} + \dfrac{{\overrightarrow {CD} }}{2}\)  hay  \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} \)      (1)

Mặt khác  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} \)

\(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BD} \)

Nên  \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} \)           (2)

Vì \(\overrightarrow {DB}  =  - \overrightarrow {BD} \)

Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {MN} \)  là đẳng thức cần chứng minh.

b) Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {MQ}  - \overrightarrow {MP}  = \dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{2} - \dfrac{{\overrightarrow {CD} }}{2}\)

Do đó:  \(2\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD} \)        (3)

Mặt khác:  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} \)

\(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BD}  - \overrightarrow {BC} \)

Nên \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD} \)             (4)

Vì  \(\overrightarrow {CB}  - ( - \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow 0 \)

Từ (3) và (4) ta suy ra  \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {PQ} \) là đẳng thức cần chứng minh.