Bài 3.61 trang 134 SBT hình học 12

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho \(\overrightarrow {AC}  = (0;6;0)\). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
C\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \left( {x - 2;y;z} \right)\\
\overrightarrow {AC} = \left( {0,6,0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
y = 6\\
z = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 6\\
z = 0
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {2;6;0} \right)
\end{array}\)

I là trung điểm BC nên I(1; 3; 4)

\(\overrightarrow {OA}  = \left( {2;0;0} \right)\)

\(OA\) đi qua O và nhận \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA}  = \left( {1;0;0} \right)\) làm VTCP

\( \Rightarrow OA:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\)

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OA ta có:

\(\left( \alpha  \right) \bot OA \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA}  = \left( {1;0;0} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) là: \(x – 1 = 0 \)

Gọi K(t;0;0) là giao điểm của OA và \((\alpha )\). Tọa độ của K thỏa mãn t-1=0 hay t=1.

Do đó \(K(1; 0; 0)\)

Khoảng cách từ I đến OA là: \(IK = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 3)}^2} + {{(0 - 4)}^2}}  \) \(= 5\)

Cách khác:

Sau khi tìm được I(1;3;4) và phương trình đường thẳng OA, ta có thể tính khoảng cách ngay như sau:

\(d\left( {I,OA} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {OA} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|}}\)

Mà \(\overrightarrow {OI}  = \left( {1;3;4} \right),\overrightarrow {OA}  = \left( {2;0;0} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {OA} } \right] = \left( {0;8; - 6} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {I,OA} \right) = \dfrac{{\sqrt {0 + 64 + 36} }}{{\sqrt {4 + 0 + 0} }} = 5\).