Bài 3.59 trang 134 SBT hình học 12

Đề bài

Cho mặt phẳng (P) : x + 2y – 2z + 3 = 0 và đường thẳng d:  \(\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 9} \cr} } \right.\)

Lập phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d đi qua A(1; 1; 9) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a (1;1;0)\).

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (P).

Ta có:  \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 2;2;1} \right)\)

Phương trình của (Q) là : \(-2x + 2y + z – 9 = 0\)

Khi đó:  \(d' = (P) \cap (Q)\)

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {6;3;6} \right)\)

Chọn vecto chỉ phương của d’ là:  \(\overrightarrow {{a_{d'}}}  = (2;1;2)\)

Lấy một điểm thuộc \((P) \cap (Q)\), chẳng hạn  A(-3; 1; 1)

Khi đó, phương trình của d’ là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 3 + 2t}\\{y = 1 + t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)