Bài 3.49 trang 133 SBT hình học 12

Đề bài

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng:

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 2 - t}\\{y = 1 + 4t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\)   và  \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1 + t'}\\{y =  - 3 + 4t'}\\{z = 2 - 3t'}\end{array}} \right.\)

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 1) có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;4; - 1} \right)\)

Đường thẳng d’  đi qua N(-1; -3; 2) có vecto chỉ phương là  \(\overrightarrow {u'}  = \left( {1;4; - 3} \right)\)

Suy ra:  \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 8; - 4; - 8} \right) \ne \overrightarrow 0 \)

Ta có: \(\overrightarrow {MN} (1; - 4;1)\) nên \(\overrightarrow {MN} .\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = 0\)  do đó hai đường thẳng d và d’ cắt nhau.

Khi đó (P) là mặt phẳng đi qua M(-2; 1; 1) và có \(\overrightarrow {{n_P}}  = (2;1;2)\)

Phương trình của (P) là : 2(x  +2) + (y – 1)  +2(z – 1) = 0  hay  2x + y + 2z + 1 = 0.