Bài 3.22 trang 155 SBT hình học 10

Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - x - 7y = 0\) và đường thẳng \(d:3x + 4y - 3 = 0\).

LG a

Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và d.

Phương pháp giải:

 Giải hệ phương trình tọa độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\).

Giải chi tiết:

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - x - 7y = 0\,\,\left( 1 \right)\\3x + 4y - 3 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\left( 2 \right)\) suy ra \(y = \dfrac{{3 - 3x}}{4}\), thay vào \(\left( 1 \right)\) được

\({x^2} + {\left( {\dfrac{{3 - 3x}}{4}} \right)^2} - x - 7.\dfrac{{3 - 3x}}{4} = 0\) \( \Leftrightarrow 25{x^2} + 50x - 75 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 0\\x =  - 3 \Rightarrow y = 3\end{array} \right.\)

Vậy \({M_1}\left( {1;0} \right)\), \({M_2}\left( { - 3;3} \right)\).

LG b

 Lập phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại các giao điểm đó.

Phương pháp giải:

Tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(M\) đi qua \(M\) và nhận \(\overrightarrow {IM} \) làm VTPT.

Giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)\).

Tiếp tuyến tại \({M_1}\left( {1;0} \right)\) đi qua \({M_1}\left( {1;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {I{M_1}}  = \left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right)\) làm VTPT.

Phương trình tiếp tuyến \(\dfrac{1}{2}\left( {x - 1} \right) - \dfrac{7}{2}\left( {y - 0} \right) = 0\) hay \(x - 7y - 1 = 0\).

Tiếp tuyến tại \({M_2}\left( { - 3;3} \right)\) đi qua \({M_2}\left( { - 3;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {I{M_2}}  = \left( { - \dfrac{7}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\) làm VTPT.

Phương trình tiếp tuyến \( - \dfrac{7}{2}\left( {x + 3} \right) - \dfrac{1}{2}\left( {y - 3} \right) = 0\) hay \(7x + y + 18 = 0\).

Vậy \({\Delta _1}:x - 7y - 1 = 0\); \({\Delta _2}:7x + y + 18 = 0\).

LG c

Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến.

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và kết luận.

Giải chi tiết:

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 7y - 1 = 0\\7x + y + 18 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{5}{2}\\y =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

Vậy \(A\left( { - \dfrac{5}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\).