Bài 3.21 trang 155 SBT hình học 10

Đề bài

Lập phương trình của đường tròn \(\left( C \right)\) tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua \(M(4;2)\).

Lời giải chi tiết

Gọi tâm \(I\left( {a;b} \right)\)

\(\left( C \right)\) tiếp xúc với hai trục tọa độ \( \Leftrightarrow d\left( {I,Ox} \right) = d\left( {I,Oy} \right)=R\) \( \Leftrightarrow \left| b \right| = \left| a \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = a\\b =  - a\end{array} \right.\)

Do \(\left( C \right)\) đi qua \(M\left( {4;2} \right)\) nên \(\left( C \right)\) nằm ở góc phần tư thứ nhất hay \(R=b = a > 0\).

Phương trình của \(\left( C \right)\) có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - a} \right)^2} = {a^2}\), ta có:

\(M \in \left( C \right)\) \( \Leftrightarrow {\left( {4 - a} \right)^2} + {\left( {2 - a} \right)^2} = {a^2}\) \( \Leftrightarrow {a^2} - 12a + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = 10\end{array} \right.\)

Với \(a = 2 \) \(\Rightarrow \left( {{C_1}} \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\).

Với \(a = 10 \) \(\Rightarrow \left( {{C_2}} \right):{\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y - 10} \right)^2} = 100\)