Bài 3.18 trang 155 SBT hình học 10

Cho ba đường thẳng \({\Delta _1}:3x + 4y - 1 = 0\); \({\Delta _2}:4x + 3y - 8 = 0\), \(d:2x + y - 1 = 0\)

LG a

Lập phương trình các đường phân giác của góc hợp bởi \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Phương pháp giải:

Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) là \(\dfrac{{\left| {ax + by + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| {a'x + b'y + c'} \right|}}{{\sqrt {a{'^2} + b{'^2}} }}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M(x;y)\) nằm trên đường phân giác. Khi đó

\(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = d\left( {M,{\Delta _2}} \right)\) \(\Leftrightarrow  \dfrac{{\left| {3x + 4y - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{{\left| {4x + 3y - 8} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 4y - 1 = 4x + 3y - 8\\3x + 4y - 1 =  - \left( {4x + 3y - 8} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y - 7 = 0\\7x + 7y - 9 = 0\end{array} \right.\)

Vậy \(x - y - 7 = 0\)\(({d_1})\) hay \(x + y - \dfrac{9}{7} = 0\)\(\left( {{d_2}} \right)\).

LG b

 Xác định tọa độ tâm \(I\) của đường tròn \(\left( C \right)\) biết rằng \(I\) nằm trên \(d\) và \(\left( C \right)\) tiếp xúc với \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Phương pháp giải:

 \(\left( C \right)\) tiếp xúc với \({\Delta _1},{\Delta _2}\) nếu tâm \(I\) nằm trên đường phân giác của \({\Delta _1},{\Delta _2}\).

Tìm giao điểm của \(d\) và đường phân giác vừa viết ở câu a.

Lời giải chi tiết:

\(\left( C \right)\) tiếp xúc với \({\Delta _1},{\Delta _2}\) nếu tâm \(I\) nằm trên đường phân giác của \({\Delta _1},{\Delta _2}\).

TH1: \(I \in {d_1} \Rightarrow I = d \cap {d_1}\). Tọa độ của \(I\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 7 = 0\\2x + y - 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{8}{3}\\y =  - \dfrac{{13}}{3}\end{array} \right.\)

TH2: \(I \in {d_2} \Rightarrow I = d \cap {d_2}\). Tọa độ của \(I\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - \dfrac{9}{7} = 0\\2x + y - 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{2}{7}\\y = \dfrac{{11}}{7}\end{array} \right.\)

Suy ra  \({I_1}\left( {\dfrac{8}{3}; - \dfrac{{13}}{3}} \right)\), \({I_2}\left( { - \dfrac{2}{7};\dfrac{{11}}{7}} \right)\).

LG c

 Viết phương trình của \(\left( C \right)\).

Phương pháp giải:

Tính bán kính và viết phương trình theo công thức 

Lời giải chi tiết:

Bán kính đường tròn thứ nhất là \({R_1} = d\left( {{I_1},{\Delta _1}} \right)\) \( = \dfrac{{\left| {3.\dfrac{8}{3} + 4.\left( { - \dfrac{{13}}{3}} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{{31}}{{15}}\).

Suy ra \(\left( {{C_1}} \right):{\left( {x - \dfrac{8}{3}} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{{13}}{3}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{31}}{{15}}} \right)^2}\).

Bán kính đường tròn thứ hai là \({R_2} = d\left( {{I_2},{\Delta _1}} \right)\) \( = \dfrac{{\left| {3.\left( { - \dfrac{2}{7}} \right) + 4.\dfrac{{11}}{7} - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{{31}}{{35}}\)

Suy ra \(\left( {{C_2}} \right):{\left( {x + \dfrac{2}{7}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{{11}}{7}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{31}}{{35}}} \right)^2}\).