Bài 24 trang 160 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hình \(74,\) trong đó \(MN = PQ.\) Chứng minh rằng:

\(a)\)  \(AE = AF\)

\(b)\) \(AN = AQ.\) 

Lời giải chi tiết

\(a)\) Nối \(OA\)

Ta có: \(MN = PQ \;\;(gt)\)

Suy ra: \(OE = OF\) (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét hai tam giác \(OAE\) và \(OAF,\) ta có:

+) \(\widehat {OEA} = \widehat {{\rm{OF}}A} = 90^\circ \)

+) \(OA\) chung

+) \(OE = OF\) ( chứng minh trên)

Suy ra: \(∆OAE = ∆OAF\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: \(AE = AF\)

\(b)\) Ta có: \(OE ⊥ MN\;\; (gt)\)

Suy ra: \(EN =\displaystyle {1 \over 2}MN\) (đường kính vuông góc với dây cung)  \((1)\)

            \(OF ⊥PQ \;\;(gt)\)

Suy ra: \(FQ =\displaystyle {1 \over 2}PQ\) (đường kính vuông góc với dây cung)    \((2)\)

Mặt khác: \(MN = PQ\;\; (gt)  \;\;                 \;\;(3)\)

Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(EN = FQ\;\;\;\; (4)\)

Mà \(AE = QF\) ( chứng minh trên)   \((5)\)

Từ \((4) \) và \((5)\) suy ra:  \(AN + NE = AQ + QF     \;\;         (6)\)

Từ \((5)\) và \((6)\) suy ra: \(AN = AQ.\)