Bài 2.36 trang 79 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}\) nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng \(97\).

Lời giải chi tiết

Ta có \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{x^2}} \right)^n} +\)

\(C_n^1{\left( {{x^2}} \right)^{n - 1}}.\left( { - \dfrac{2}{x}} \right) +\)

\(C_n^2{\left( {{x^2}} \right)^{n - 2}}.{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)^2} + ...\)

Theo giả thiết, ta có:

\(\begin{array}{l}C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97\\ \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n\left( {n - 1} \right) - 97 = 0\\ \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\\n =  - 6{\rm{ }}\left( \text{loại} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(n = 8.\) Từ đó ta có:

\({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 - k}}{{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)}^k} }\)

\(=\sum\limits_{k = 0}^8 {{{\left( { - 2} \right)}^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}} \).

Như vậy, ta phải có \(16 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4.\) Do đó hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) là \({\left( { - 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120\).