Bài 2.31 trang 117 SBT giải tích 12

Giải bài 2.31 trang 117 sách bài tập giải tích 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số


Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {2^{|x|}}\) trên đoạn \(\displaystyle \left[ { - 1;1} \right]\) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Viết hàm số \(y = {2^{\left| x \right|}}\) dưới dạng khoảng.

- Xét từng hàm số có được trên các khoảng thích hợp.

- Tìm GTLN, GTNN và kết luận.

Lời giải chi tiết

Trên đoạn \(\displaystyle \left[ { - 1;1} \right]\), ta có \(y = {2^{|x|}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x},khi\,\,\,x \in {\rm{[}}0;1]}\\{{2^{ - x}},khi\,\,\,x \in {\rm{[}} - 1;0]}\end{array}} \right.\)

+) Trên đoạn \(\displaystyle \left[ {0;1} \right]\), hàm số \(y=2^x\) có \(2 > 1\) nên hàm đồng biến.

+) Trên đoạn \(\displaystyle \left[ { - 1;0} \right]\) hàm số \(y=2^{-x} = \frac{1}{{{2^x}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) có \(0 < \frac{1}{2} < 1\) nên hàm nghịch biến.

+) Lại có \(y( - 1) = {2^{ - ( - 1)}} = {2^1} = 2,\)\(y(0) = {2^0} = 1,y(1) = {2^1} = 2\).

BBT:

Vậy  \(\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} y = y(1) = y( - 1) = 2,\)\(\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} y = y(0) = 1\).



Từ khóa phổ biến