Bài 2.3 phần bài tập bổ sung trang 86 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Hình thang \(ABCD \;(AB // CD)\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O.\) Gọi \(M, K, N, H\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) xuống các cạnh \(AB, BC, CD, DA.\) Chứng minh rằng:

a) \(\displaystyle {{OM} \over {ON}} = {{AB} \over {CD}}\)

b) \(\displaystyle {{OH} \over {OK}} = {{BC} \over {AD}}\)

Lời giải chi tiết

a) Vì \(OM ⊥ AB\) và \(ON ⊥ CD\), mà \(AB // CD\) nên suy ra \(M, O, N\) thẳng hàng.

Xét \(\Delta OCN\) có \(AB // CD\), theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:

\(\displaystyle {{OM} \over {ON}} = {{MA} \over {NC}}\)    (1)

Xét \(\Delta ODN\) có \(AB // CD\), theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:

\(\displaystyle {{OM} \over {ON}} = {{MB} \over {ND}}\)    (2)

Từ (1) và (2) và theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\displaystyle {{OM} \over {ON}} = {{MA} \over {NC}} = {{MB} \over {ND}} = {{MA + MB} \over {NC + ND}} \)\(\,\displaystyle = {{AB} \over {CD}}\)

b) Từ \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) và \(CD \) cắt \(AD\) tại \(E\), cắt \(BC\) tại \(F.\)

Xét \(\Delta DAB\) có \(OE // AB\) (cách dựng)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: 

\(\displaystyle {{OE} \over {AB}} = {{DO} \over {DB}}\)      (*)

Xét \(\Delta CAB\) có \(OF // AB\) (cách dựng)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: 

\( \displaystyle {{OF} \over {AB}} = {{CF} \over {CB}}\)      (2*)

Xét \(\Delta BCD\) có \(OF // CD\) (gt)

Theo định lí Ta-lét ta có:

\(\displaystyle{{DO} \over {DB}} = {{CF} \over {CB}}\)        (3*)

Từ (*), (2*) và (3*) suy ra: \(\displaystyle{{OE} \over {AB}} = {{OF} \over {AB}}\)

Vậy \( OE = OF.\)

Từ đó, ta có:

\({S_{AEO}} = {S_{BFO}}\) (3) (hai tam giác có cùng đường cao và hai đáy bằng nhau);

\({S_{DEO}} = {S_{CFO}}\) (4) (hai tam giác có cùng đường cao và hai đáy bằng nhau)

Từ (3) và (4) suy ra: \({S_{AEO}}+{S_{DEO}} = {S_{BFO}}+{S_{CFO}}\)

\( \Rightarrow {S_{OAD}} = {S_{OBC}}\)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{2}OH.AD = \dfrac{1}{2}OK.BC \)

\(\Rightarrow OH.AD = OK.BC \)

\(\Rightarrow \displaystyle {{OH} \over {OK}} = {{BC} \over {AD}}\)