Bài 10 trang 84 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình thang \(ABCD \;(AB // CD)\). Đường thẳng song song với đáy \(AB\) cắt các cạnh bên và các đường chéo \(AD, BD, AC\) và \(BC\) theo thứ tự tại các điểm \(M, N, P, Q\) (h.9)

Chứng minh rằng \(MN = PQ.\)

Lời giải chi tiết

Xét \(\Delta ADB\) có \(MN // AB\) (gt)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:

\(\displaystyle{{DN} \over {DB}} = {{MN} \over {AB}}\)    (1)

Xét \(\Delta ACB\) có \(PQ // AB\) (gt)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:

\(\displaystyle{{CQ} \over {CB}} = {{PQ} \over {AB}}\)      (2)

Lại có: \(NQ // AB\) (gt)

           \(AB // CD\) (gt)

Suy ra: \(NQ // CD\) (hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau).

Xét \(\Delta BDC\) có \(NQ // CD\) (chứng minh trên)

Theo định lí Ta-lét ta có:

\(\displaystyle {{DN} \over {DB}} = {{CQ} \over {CB}}\)     (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\displaystyle {{MN} \over {AB}} = {{PQ} \over {AB}}\) hay \(MN = PQ.\)