Bài 11 trang 85 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình thang \(ABCD \;(AB // CD).\) Trên cạnh bên \(AD\) lấy điểm \(E\) sao cho \(\displaystyle {{AE} \over {ED}} = {p \over q}\). Qua \(E\) kẻ đường thẳng song song với các đáy và cắt \(BC\) tại \(F\).

Chứng minh rằng: \(\displaystyle EF = {{p.CD + q.AB} \over {p + q}}\)

HD: Kẻ thêm đường chéo \(AC\), cắt \(EF\) ở \(I\), rồi áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào các tam giác \(ADC\) và \(CAB.\)

Lời giải chi tiết

Kẻ đường chéo \(AC\) cắt \(EF\) tại \(I.\)

Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào \(\Delta ADC \) có \(EI // CD\), ta có:

\(\displaystyle {{AE} \over {AD}} = {{EI} \over {CD}}\)

\( \Rightarrow \displaystyle EI = {{AE} \over {AD}}.CD\)   (1)

Lại có: \(\displaystyle {{AE} \over {ED}} = {p \over q}\) (gt)

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có:

\(\displaystyle {{AE} \over {ED}} = {p \over q}\)

\( \displaystyle\Rightarrow {{AE} \over {AE + ED}} = {p \over {p + q}}\)

Hay \( \displaystyle{{AE} \over {AD}} = {p \over {p + q}}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\displaystyle EI = {p \over {p + q}}.CD\)

Áp dụng định lí Ta-lét vào \(\Delta ABC\) có \(IF // AB\), ta có:

\(\displaystyle {{BF} \over {FC}} = {{AI} \over {IC}}\)          (3)

Áp dụng định lí Ta-lét vào \(\Delta ADC\) có \(EI // CD\), ta có:

\(\displaystyle {{AE} \over {ED}} = {{AI} \over {IC}}\)          (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(\displaystyle {{BF} \over {FC}} = {{AE} \over {ED}} = {p \over q}\)

Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào \(\Delta ABC\) có \(IF // AB\), ta có:

\(\displaystyle {{IF} \over {AB}} = {{CF} \over {CB}}\)

\(\displaystyle  \Rightarrow IF = {{CF} \over {CB}}.AB\)           (5)

Ta có: \(\displaystyle {{BF} \over {CF}} = {p \over q}\) (cmt)

\(\displaystyle  \Rightarrow {{CF} \over {BF}} = {q \over p}\)

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có:

\(\displaystyle {{CF} \over {BF}} = {q \over p}\)

\(\displaystyle \Rightarrow {{CF} \over {CF + BF}} = {q \over {p + q}} \)

\(\displaystyle \Rightarrow {{CF} \over {CB}} = {q \over {p + q}}\)    (6)

Từ (5) và (6) suy ra: \(\displaystyle IF = {q \over {p + q}}.AB\)

Vậy \(\displaystyle EF = EI + {\rm I}F \)\(\,\displaystyle = {p \over {p + q}}.CD + {q \over {p + q}}.AB \)\(\,\displaystyle = {{p.CD + q.AB} \over {p + q}}\)