Bài 13 trang 85 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình thang \(ABCD\) \((AB // CD, AB < CD)\). Gọi trung điểm của các đường chéo \(AC, BD\) thứ tự là \(N\) và \(M. \) Chứng minh rằng:

a) \( MN// AB;\)

b) \(\displaystyle MN = {{CD - AB} \over 2}\)

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(P\) là trung điểm của \(AD\), nối \(PM.\)

Xét \(\Delta DAB\) có:

\(\displaystyle{{PA} \over {AD}} = {1 \over 2};{{BM} \over {BD}} = {1 \over 2}\)

\(\displaystyle\Rightarrow {{PA} \over {AD}} = {{BM} \over {BD}}\)

Theo định lí đảo của định lí Ta-lét ta có \( PM // AB\)                       (1)

Xét \(\Delta ACD\) có: \(\displaystyle{{AP} \over {AD}} = {1 \over 2};{{AN} \over {AC}} = {1 \over 2}\)

\(\Rightarrow \displaystyle{{AP} \over {AD}} = {{AN} \over {AC}}\)

Theo định lí đảo của định lí Ta-lét ta có \(PN // CD\)                         (2)

\(AB//CD\) (gt)     (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(PM//AB\) và \(PN//AB\)

Qua \(P\) có hai đường thẳng \(PN\), \(PM\) cùng song song với \(AB\), theo tiên đề Ơ-clít thì \(PN \equiv PM\) hay \( P, M, N\) thẳng hàng.

Vậy \( MN // AB\).

b) Vì \(PM\) là đường trung bình của tam giác \(DAB\) nên ta có:

\(\displaystyle PM = {{AB} \over 2}\) (tính chất đường trung bình tam giác)

Vì \(PN\) là đường trung bình của tam giác \(ADC\) nên ta có:

\(\displaystyle PN = {{CD} \over 2}\) (tính chất đường trung bình tam giác)

Vậy \(MN = PN - PM\) \(\displaystyle= {{CD} \over 2} - {{AB} \over 2} = {{CD - AB} \over 2}\)