Bài 1.85 trang 41 SBT giải tích 12

Đề bài

Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 1}}{{2 - x}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

A. \(m =  - 1\)               B. \(m > 1\)

C. \(m \in \left( { - 1;1} \right)\)        D. \(m \le  - \dfrac{5}{2}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {2x + m + 1} \right)\left( {2 - x} \right) + \left[ {{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 1} \right]}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{ - {x^2} + 4x + 2m + 1}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(D\) nếu và chỉ nếu \(y' \le 0,\forall x \in D\) và chỉ bằng \(0\) tại hữu hạn điểm.

Dễ thấy \(y' = 0\) tại tối đa hai điểm nên ta cần \(y' \le 0,\forall x \ne 2\)

\( \Leftrightarrow  - {x^2} + 4x + 2m + 1 \le 0,\forall x \ne 2\) \( \Leftrightarrow \Delta ' = 4 + 2m + 1 \le 0\) \( \Leftrightarrow m \le  - \dfrac{5}{2}\).

Chọn D.