Bài 1.54 trang 23 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(a\), hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên đáy \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm của tam giác \(ABC\) và cạnh bên tạo với đáy một góc \({60^0}\). Thể tích của hình lăng trụ là:

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}{a^3}\)                      B. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{8}{a^3}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^3}\)                      D. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^3}\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Khi đó \(A'G \bot \left( {ABC} \right)\) và góc giữa \(A'A\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {A'AG} = {60^0}\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) và \(AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Tam giác \(A'AG\) vuông tại \(G\) có \(AG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \(\widehat {A'AG} = {60^0}\) nên \(A'G = AG\tan {60^0} = a\).

Vậy thể tích \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'G = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

Chọn C.