Bài 1.52 trang 23 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Thể tích của hình chóp bằng:

A. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}\)                      B. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{9}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{8}\)                       D. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{6}\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm đáy, \(E\) là trung điểm của \(BC\) và \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(SE\).

Dễ thấy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)\) (vì \(AC = 2OC\)) nên \(d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Lại có \(BC \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow BC \bot OH\), mà \(OH \bot SE\) nên \(OH \bot \left( {SBC} \right)\).

Do đó \(d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Tam giác \(SOE\) vuông tại \(O\) có \(OE = \dfrac{a}{2},OH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\) nên:

\(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{E^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}}\) \( \Rightarrow SO = \dfrac{{OE.OH}}{{\sqrt {O{E^2} - O{H^2}} }}\) \( = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{6{a^2}}}{{36}}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\) \( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{9}\).

Chọn B.