Bài 1.46 trang 22 SBT hình học 12

Đề bài

Cho \(\left( H \right)\) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng \(a\). Thể tích của \(\left( H \right)\) là:

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)               B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)          D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD\)

Vì chóp \(S.ABCD\) đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

Ta có: \(AC = BD = a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow OA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OA\) \( \Rightarrow \Delta SOA\) vuông tại \(O\) \( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\)\( = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

Chọn B.