Bài 1.49 trang 22 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có thể tích bằng \(V\). Lấy điểm \(A'\) trên cạnh \(SA\) sao cho \(SA' = \dfrac{1}{3}SA\). Mặt phẳng qua \(A'\) và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh \(SB,SC,SD\) lần lượt tại \(B',C',D'\). Thể tích hình chóp \(S.A'B'C'D'\) bằng:

A. \(\dfrac{V}{3}\)                 B. \(\dfrac{V}{9}\)

C. \(\dfrac{V}{{27}}\)               D. \(\dfrac{V}{{81}}\)

Lời giải chi tiết

Dễ thấy \(B',C',D'\) thuộc các cạnh \(SB,SC,SD\) sao cho \(\dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}} = \dfrac{{SD'}}{{SD}} = \dfrac{1}{3}\)

Do đó \(\dfrac{{{V_{S.A'B'D'}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SD'}}{{SD}}\) \( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{{27}}\);

\(\dfrac{{{V_{S.C'B'D'}}}}{{{V_{S.CBD}}}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SD'}}{{SD}}\) \( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{{27}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{27}} = \dfrac{{{V_{S.A'B'D'}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \dfrac{{{V_{S.C'B'D'}}}}{{{V_{S.CBD}}}}\) \( = \dfrac{{{V_{S.A'B'D'}} + {V_{S.C'B'D'}}}}{{{V_{S.ABD}} + {V_{S.CBD}}}} = \dfrac{{{V_{S.A'B'C'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\)

\( \Rightarrow {V_{S.A'B'C'D'}} = \dfrac{1}{{27}}V\).

Chọn C.