Bài 1.50 trang 22 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\) và khoảng cách từ trọng tâm tam giác \(ABC\) đến mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(\dfrac{a}{4}\). Thể tích của hình chóp bằng:

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{{24}}{a^3}\)               B. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{{16}}{a^3}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}{a^3}\)              D. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}{a^3}\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\), \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(P\) là hình chiếu của \(O\) lên \(AN\).

Dễ thấy \(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot AB\), mà \(AB \bot CN\) nên \(AB \bot \left( {SNC} \right) \Rightarrow AB \bot OP\).

Lại có \(OP \bot SN\) nên \(OP \bot \left( {SAB} \right)\) hay \(d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = OP = \dfrac{a}{4}\).

Ta có: \(CN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow ON = \dfrac{1}{3}CN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Tam giác \(SON\) vuông tại \(O\) có \(\dfrac{1}{{O{P^2}}} = \dfrac{1}{{O{N^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{16}}{{{a^2}}} = \dfrac{{36}}{{3{a^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow SO = \dfrac{a}{2}\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Thể tích khôi chóp \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABC}}\) \( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

Chọn A.